Оптимальное управление бизнесом

Математические аспекты методики оптимизации ценообразования

Суть методики заключается в аппроксимации зависимости объема реализации от цены некоторой элементарной функцией. Дальше, зная значения объемов реализации в определенном диапазоне цен, можно рассчитать, какая прибыль будет получаться в зависимости от значения цен в этом диапазоне.

Итак, нам известны 2 точки зависимости объема реализации от цены – исходная (реализация при исходной цене) и прогнозная (прогноз реализации при другой цене). Как известно из элементарной математики, через 2 точки на плоскости можно провести одну прямую линию. Уравнение прямой выглядит следующим образом: y=ax+b, где в качестве переменной х выступает цена, а в качестве значений функции y выступает объем реализации. В нашем случае удобнее записать это как уравнение прямой, проходящей через точку (x0,y0): y=y0+a(x-x0). Подставив в это уравнение значения (x1,y1), получим значение коэффициента a=(y1-y0)/(x1-x0). Напомним, что y0 – это исходная реализация при исходной цене x0, а y1 – прогнозная реализация при новой цене x1. Нетрудно заметить, что в ячейке В19 (на листе "Линейная") как раз и занесено значение коэффициента а.

В данных для графиков в столбце “Цена” приведены шесть значений цены, каждое из которых получается прибавлением к предыдущей некоторого постоянного значения (шага по цене – ячейка С6). В столбце “Реализация” занесены шесть значений объема реализации, полученных из уравнения прямой y=y0+a(x-x0). А в столбце “Прибыль” – шесть значений прибыли, полученных как произведение разности текущей цены и цены себестоимости на объем реализации.

Однако, как известно из той же элементарной математики, через 2 точки можно однозначно провести не только прямую, но и другие элементарные функции. Например, y=bеаx или y=bsin(ax) или y=b+a/x и другие. Главное, чтобы у этих функций были 2 коэффициента (в данном представлении этих функций это коэффициенты а и b). Тогда ход графиков этих функций будет однозначно определяться двумя точками. Приведем решение той же задачи, но с использованием экспоненциальной функции y=y0еа(x-x0) (по аналогии с уравнением прямой используем более удобную форму, показывающую, что эта функция проходит через исходную точку (x0,y0)). Подставив в это уравнение вторую точку (x1,y1), получим значение коэффициента а: а=ln(y1/y0)/(x1-x0). Последнее выражение можно также представить в виде а=(ln(y1)-ln(y0))/(x1-x0). Интересно, что значение коэффициента b как в случае прямой, так и в случае экспоненты, равно y0, а значение коэффициента а отличается только числителем – для прямой он равен y1-y0, а для экспоненты ln(y1)-ln(y0). Просто красиво и ничего более.

Итак, занесем данные в таблицу Excel (лист "Экспоненциальная").

Нет никаких оснований полагать, что экспоненциальная функция лучше аппроксимирует зависимость объема реализации от цены на участке от исходной цены до прогнозной, чем прямолинейная функция. Тем не менее, мне она больше нравится хотя бы потому, что у экспоненты, в отличие от прямой, нет нулевого значения объема реализации при какой-либо цене. (Как видно на листе "Линейная", объем реализации при линейной аппроксимации равен нулю при цене 1,5 руб.) Поэтому лучше использовать экспоненциальную аппроксимацию. Хотя ничто не мешает использовать на одном графике оба вида аппроксимации. Кроме того, на графике зависимости прибыли от цены для удобства можно использовать не абсолютную величину прибыли, а добавочную величину прибыли (или убытка) относительно прибыли при исходной цене – ячейка В20 (лист "Доп. прибыль").

Теперь немного о том, почему с самого начала были выбраны 2 точки для аппроксимации зависимости объема реализации от цены, а не одна или не три точки. Одна точка приведет к заведомо ложным результатам. Например, если мы попробуем аппроксимировать эту зависимость линейной функцией y=ax, то получим, что объем реализации возрастает с ростом цены, что является просто абсурдом. Применение же экспоненциальной аппроксимации y=е-аx или y=bе-x к правдивому результату может привести разве что случайно.

Применение 3-х точек даст более достоверные результаты только при условии, что вероятность ошибки прогноза в 2-х прогнозных точках при трехточечной аппроксимации будет такой же, как вероятность ошибки прогноза в одной прогнозной точке при двухточечной аппроксимации. А такое условие может выполняться только при абсолютно достоверном прогнозе, т.е. при вероятности ошибки прогноза равной нулю. В реальных условиях это невыполнимо. Всегда есть ненулевая вероятность ошибки прогноза. Если, допустим, вероятность ошибки прогноза в одной точке равна 20 %, то вероятность ошибки прогноза в двух точках будет приблизительно равной 36 % (1-(1-0,2)х(1-0,2)). А в таких условиях аппроксимация по трем точкам (например, квадратичным сплайном) приведет к менее достоверному результату.

Таким образом, применение двухточечной аппроксимации с одной исходной и одной прогнозной точкой в данном случае наиболее оптимально.


ГЛАВНАЯ ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ УПРАВЛЕНИЕ ДЕБИТОРСКОЙ ЗАДОЛЖЕННОСТЬЮ УПРАВЛЕНИЕ КРЕДИТОРСКОЙ ЗАДОЛЖЕННОСТЬЮ ЗАДАЧА ЗАМЕНЫ ОБОРУДОВАНИЯ МЕТОД ЗАКУПКИ ТОВАРОВ МИНИМИЗАЦИЯ НАЛОГОВ ТЕОРИЯ РЕКЛАМЫ ЛИТЕРАТУРА ОБ АВТОРЕ


Рейтинг@Mail.ru